Die Differentiation eindimensionaler reeller Funktionen wurde bereits in Abschnitt 4.2 teilweise behandelt. Zur Wiederholung:Die Ableitung einer von der Variablen x abh\344ngigen Funktion f l\344sst sich mit der Funktion "D(f)" (bzw. "D(f)(x)") oder alternativ mit der Funktion "diff(f(x), x)" berechnen. Man achte auf die Beziehung zwischen "D" und "diff", denn es gilt "D(f)(x) = diff(f(x), x)" (bzw. "D(f) = unapply(diff(f(x), x), x)"). Die Funktion "unapply()" wandelt hierbei einen Funktionsausdruck in eine Funktion um. Beispiel:(1. M\366glichkeit. Nachteil: Man kann sie nachtr\344glich nur auswerten, indem man sie mit "unapply" umwandelt) diff(-x^2+1, x); (2. M\366glichkeit.) f := x -> -x^2+1: D(f); (Ableitung als Funktion) D(f)(x);

NiMsJEkieEc2IiEiIw==NiNmKjYjSSJ4RzYiRiY2JEkpb3BlcmF0b3JHRiZJJmFycm93R0YmRiYsJDkkISIjRiZGJkYmNiMsJEkieEc2IiEiIw==NiMtLUkiREc2JEkqcHJvdGVjdGVkR0YnSShfc3lzbGliRzYiNiNJImdHRik2I0kidEdGKQ==

NiMtSSVkaWZmR0kqcHJvdGVjdGVkR0YlNiQtSSJnRzYiNiNJInRHRilGKw==

Um die Ableitung in einem speziellen Punkt auswerten, gehen wir wie folgt vor:f := x -> -x^2+1: D(f)(2.5);

NiMkISNdISIi

Wir sind allerdings nicht dazu gezwungen feste Funktionen vorzugeben:D(g)(x); convert(%,diff); (d/dx Schreibweise) D(g*h)(x); (Produktregel) convert(D(g*h)(x),diff); (Produktregel in d/dx Schreibweise)

NiMtLUkiREc2JEkqcHJvdGVjdGVkR0YnSShfc3lzbGliRzYiNiNJImdHRik2I0kieEdGKQ==NiMtSSVkaWZmR0kqcHJvdGVjdGVkR0YlNiQtSSJnRzYiNiNJInhHRilGKw==NiMsJiomLS1JIkRHNiRJKnByb3RlY3RlZEdGKUkoX3N5c2xpYkc2IjYjSSJnR0YrNiNJInhHRisiIiItSSJoR0YrRi5GMEYwKiYtRi1GLkYwLS1GJzYjRjJGLkYwRjA=NiMsJiomLUklZGlmZkdJKnByb3RlY3RlZEdGJzYkLUkiZ0c2IjYjSSJ4R0YrRi0iIiItSSJoR0YrRixGLkYuKiZGKUYuLUYmNiRGL0YtRi5GLg==

Aufgaben: Bestimme die erste Ableitung der Funktion a) f(x)=(x^2-2x)/((x+1)(x-3)) b) f(x)=x^x c) f(x)=exp(sin(x^2))+exp(sin(x)*sin(x)) d) f(x)=((2x+1)/4)*sqrt(x^2+x+1)+(3/8)*ln(2x+1+2*sqrt(x^2+x+1)) e) f(x)=arcsin((2x)/(1+x^2))

Ableitungen von Polynomen:diff(c, x); diff(c*x, x); diff(x^2, x); diff(1/x, x); diff(x^n, x); diff(1/(x^n), x);

NiMiIiE=NiNJImNHNiI=NiMsJEkieEc2IiIiIw==NiMsJCokSSJ4RzYiISIjISIiNiMqKClJInhHNiJJIm5HRiYiIiJGJ0YoRiUhIiI=NiMsJCooKUkieEc2IkkibkdGJyEiIkYoIiIiRiZGKUYp

Ableitungen trigonometrischer Funktionen:diff(sin(x), x); diff(cos(x), x); diff(tan(x), x); diff(sinh(x), x); diff(cosh(x), x); diff(tanh(x), x); diff(arcsin(x), x); diff(arccos(x), x); diff(arctan(x), x); diff(arcsinh(x), x); diff(arccosh(x), x); diff(arctanh(x), x);

NiMtSSRjb3NHNiRJKnByb3RlY3RlZEdGJkkoX3N5c2xpYkc2IjYjSSJ4R0YoNiMsJC1JJHNpbkc2JEkqcHJvdGVjdGVkR0YnSShfc3lzbGliRzYiNiNJInhHRikhIiI=NiMsJiIiIkYkKiQtSSR0YW5HNiRJKnByb3RlY3RlZEdGKUkoX3N5c2xpYkc2IjYjSSJ4R0YrIiIjRiQ=NiMtSSVjb3NoRzYkSSpwcm90ZWN0ZWRHRiZJKF9zeXNsaWJHNiI2I0kieEdGKA==NiMtSSVzaW5oRzYkSSpwcm90ZWN0ZWRHRiZJKF9zeXNsaWJHNiI2I0kieEdGKA==NiMsJiIiIkYkKiQtSSV0YW5oRzYkSSpwcm90ZWN0ZWRHRilJKF9zeXNsaWJHNiI2I0kieEdGKyIiIyEiIg==

NiMqJCwmKiRJInhHNiIiIiMhIiIiIiJGKiNGKUYoNiMsJCokLCYqJEkieEc2IiIiIyEiIiIiIkYrI0YqRilGKg==NiMqJCwmIiIiRiUqJEkieEc2IiIiI0YlISIiNiMqJCwmIiIiRiUqJEkieEc2IiIiI0YlIyEiIkYpNiMqJiwmSSJ4RzYiIiIiISIiRicjRigiIiMsJkYlRidGJ0YnRik=NiMqJCwmKiRJInhHNiIiIiMhIiIiIiJGKkYp

Ableitung der Exponentialfunktiondiff(exp(x), x);

NiMtSSRleHBHNiRJKnByb3RlY3RlZEdGJkkoX3N5c2xpYkc2IjYjSSJ4R0Yo

Ableitung des Logarithmusdiff(log(x), x);

NiMqJEkieEc2IiEiIg==

Ableitung des absolut Betragesdiff(abs(x), x);

NiMtSSRhYnNHSSpwcm90ZWN0ZWRHRiU2JCIiIkkieEc2Ig==

Sonstige Ableitungen (mit zweiter "vereinfachter" Darstellung durch die Funktion "simplify()"): Fordere a>0 eine beliebig aber feste reelle Zahl.diff(x^(x^x), x) = simplify(diff(x^(x^x), x)); diff((x^x)^x, x) = simplify(diff((x^x)^x, x)); diff(x^(x^a), x) = simplify(diff(x^(x^a), x)); diff(x^(a^x), x) = simplify(diff(x^(a^x), x)); diff(a^(x^x), x);

NiMvKiYpSSJ4RzYiKUYmRiYiIiIsJiooRihGKSwmLUkjbG5HNiRJKnByb3RlY3RlZEdGMEkoX3N5c2xpYkdGJzYjRiZGKUYpRilGKUYtRilGKSomRihGKUYmISIiRilGKSwoKiYpRiYsJkYoRilGJkYpRilGLSIiI0YpKiZGN0YpRi1GKUYpKUYmLChGKEYpRiZGKUY0RilGKQ==NiMvKiYpKUkieEc2IkYnRiciIiIsJi1JI2xuRzYkSSpwcm90ZWN0ZWRHRi5JKF9zeXNsaWJHRig2I0YmRikqJkYnRiksJi1GLDYjRidGKUYpRilGKUYpRikqJkYlRiksKEYrRikqJkYnRilGM0YpRilGJ0YpRik=NiMvKiYpSSJ4RzYiKUYmSSJhR0YnIiIiLCYqKkYoRipGKUYqRiYhIiItSSNsbkc2JEkqcHJvdGVjdGVkR0YxSShfc3lzbGliR0YnNiNGJkYqRioqJkYoRipGJkYtRipGKiomKUYmLChGKEYqRilGKkYtRipGKiwmKiZGKUYqRi5GKkYqRipGKkYqNiMvKiYpSSJ4RzYiKUkiYUdGJ0YmIiIiLCYqKEYoRiotSSNsbkc2JEkqcHJvdGVjdGVkR0YwSShfc3lzbGliR0YnNiNGKUYqLUYuNiNGJkYqRioqJkYoRipGJiEiIkYqRioqJkYoRiosJiooRiVGKkYtRipGM0YqRiopRiYsJkYoRipGNkYqRipGKg==NiMqKilJImFHNiIpSSJ4R0YmRigiIiJGJ0YpLCYtSSNsbkc2JEkqcHJvdGVjdGVkR0YuSShfc3lzbGliR0YmNiNGKEYpRilGKUYpLUYsNiNGJUYp

Zur Bestimmung von Ableitungen h\366herer Ordnung (z.B. der N-ten Ableitung) ben\366tigen wir die Funktion "diff(f(x), x$N)" (bzw. ""). Beispiel:(1. M\366glichkeit. Nachteil: Man kann sie nachtr\344glich nur auswerten, indem man sie mit "unapply" umwandelt) diff(-x^2+1, x$1); diff(-x^2+1, x$2); diff(-x^2+1, x$3); (Alternative zur 1. M\366glichkeit. Nachteil: viel Schreibarbeit (z.B. bei 100-ste Ableitung) und un\374bersichtlich) diff(-x^2+1, x); diff(diff(-x^2+1, x),x); diff(diff(diff(-x^2+1, x),x),x); (2. M\366glichkeit.) f := x -> -x^2+1: (D@@1)(f)(x); (D@@2)(f)(x); (D@@3)(f)(x); (Alternative zur 2. M\366glichkeit. Nachteil: viel Schreibarbeit (z.B. bei 100-ste Ableitung) und un\374bersichtlich) D(f)(x); D(D(f))(x); D(D(D(f)))(x);

NiMsJEkieEc2IiEiIw==NiMhIiM=NiMiIiE=NiMsJEkieEc2IiEiIw==NiMhIiM=NiMiIiE=NiMsJEkieEc2IiEiIw==NiMhIiM=NiMiIiE=NiMsJEkieEc2IiEiIw==NiMhIiM=NiMiIiE=

Aufgaben: Berechne die ersten zwei Ableitungen der Funktion a) f(x)=exp(sin(x^2))und die erste vier Ableitungen der Funktion b) f(x)=x^8-x^4+2x^3-2sin(x)